\section{开普勒二体问题}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection}
    我们将研究开普勒二体问题。
    \newline
    \begin{itemize}
        \item \textcolor{blue}{两个质点}的轨道问题
        \begin{itemize}
            \item \textcolor{blue}{将行星和航天器视为质点}可以深入理解航天器绕行星运行的行为。
        \end{itemize}
        \item 事实证明，这是一个适用于航天器绕行星运行、行星绕太阳运行等情况的合理模型。
    \end{itemize}
    \vspace{12pt}
    \centering\includegraphics[scale=1.2]{fig_2_1.pdf} \\
    \textcolor{blue}{图 \arabic{section}.1:} 二体问题
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection}
    牛顿定律仅在惯性参考系中成立。
    \begin{block}{惯性参考系 (牛顿)}
        永远保持静止。
    \end{block}
    我们只能找到近似的惯性参考系，例如：
    \begin{block}{日心坐标系}
        原点：位于太阳中心 \\
        方向：相对于恒星固定
    \end{block}
    \centering\includegraphics{fig_2_2.pdf} \\
    \textcolor{blue}{图 \arabic{section}.2:} 日心黄道坐标系
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection}
\begin{block}{惯性参考系的特性}
    任何满足以下条件的参考系：
    \begin{enumerate}
        \item 相对于原始惯性参考系无旋转
        \item 原点相对于原始参考系无平移或以恒定速度平移
    \end{enumerate}
也是惯性参考系。
\end{block}
通过简单计算，地球相对于太阳的角速度：$360^\circ/(365\times 24) = 0.0417^\circ/\text{小时}$
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}
    \begin{block}{地心惯性 (ECI) 坐标系}
        原点：地球中心 \\
        方向：相对于恒星固定
    \end{block}
\column{0.45\textwidth}
\centering\includegraphics{fig_2_3.pdf} \\
\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.3:} 地心惯性 (ECI) 坐标系
\end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{运动方程}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
    考虑两个质量分别为$m_1$和$m_2$的质点。 \\
    \centering\includegraphics{fig_2_1.pdf} \\
    \textcolor{blue}{图 \arabic{section}.4:} 二体问题
    \begin{itemize}
        \item 为了应用牛顿运动定律，
            我们需要一个惯性参考系$\mathcal F_1$。
        \item $m_2$相对于$m_1$位置的运动方程为
        \[\ddot{\vec r}_{21} = -\frac{G(m_1+m_2)}{|\vec r_{21}|^3}\vec r_{21}\]
        其中$\vec r_{21}=\vec r_{2}-\vec r_{1}$是质点$m_2$相对于质点$m_1$的位置，
        而$G$是牛顿万有引力常数。
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
    现在，我们将假设$m_1 >> m_2$。
    \begin{itemize}
        \item 例如当$m_1$是行星而$m_2$是航天器时，
        或者当$m_1$是太阳而$m_2$是行星时，就是这种情况。
    \end{itemize}
    在此假设下，$m_1 + m_2 \approx m_1$，且
    \[\ddot{\vec r}_{21} = -\frac{G m_1}{|\vec r_{21}|^3}\vec r_{21}\]
    \begin{block}{开普勒二体轨道运动方程}
        \[\ddot{\vec r}_{21} = -\frac{\mu}{|\vec r_{21}|^3}\vec r_{21}\]
        其中引力常数$\mu = Gm_1$。
    \end{block}
    \textcolor{blue}{地球引力常数} $3.986 \times 10^{5}\text{km}^3/\text{s}^2$ \\
    \textcolor{blue}{太阳引力常数} $1.3271244 \times 10^{11}\text{km}^3/\text{s}^2$
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{运动常数}
\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
1. 轨道角动量
\begin{columns}
\column{0.6\textwidth}
    \begin{block}{定义 2.1}
        轨道角动量定义为
        \[\vec h = \vec r \times \vec v\]
    \end{block}
\column{0.3\textwidth}
\centering\includegraphics{fig_2_p6.pdf} \\
\end{columns}
我们可以证明
\[ \dot{\vec h}=\vec 0 \]
\begin{itemize}
    \item $\vec h$相对于$\mathcal F_1$是常量。
    \item 由$\vec r\perp\vec h$，$\vec r$ \textcolor{blue}{在惯性空间中垂直于$\vec h$的平面上演化}。
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
2. 轨道能量
\begin{block}{定义 2.2}
    轨道能量定义为
    \[\mathcal E=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}\]
    其中$v = |\vec v|$是轨道速度，$r = |\vec r|$是$m_2$到$m_1$的距离。
\end{block}
\vspace{-24pt}
\begin{align*}
    \textcolor{blue}{\frac{v^2}{2}}  & \text{: 单位质量的动能} \\
    \textcolor{blue}{-\frac{\mu}{r}} & \text{: 二体引力势能}
\end{align*}
\vspace{-6pt}
我们可以证明
\[\dot{\mathcal E}=0\]
这意味着二体轨道能量是常量。
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
3. 偏心率
\begin{block}{定义 2.3}
    偏心率定义为
    \[\vec e\triangleq\frac{\vec v\times\vec h}{\mu}-\frac{\vec r}{r}\]
\end{block}
\begin{center}\includegraphics{fig_2_p6.pdf}\end{center}
我们可以证明
\[\dot{\vec e}=\vec 0\]
这意味着偏心率矢量$\vec e$位于轨道平面内，且为常量。
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{开普勒轨道的形状}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
    \begin{itemize}
        \item 我们已经确定开普勒轨道运动是平面运动，可以通过角动量矢量$\vec h$指定轨道平面。
        \item 我们还发现了一个在轨道平面内固定的矢量，即偏心率矢量$\vec e$。
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
    我们可以得到
    \[r=\frac{p}{1+e\cos\theta}\]
    其中$p=h^2/\mu$。
    \vspace{10pt}
    \begin{center}\includegraphics{fig_2_5.pdf}\end{center}
    \begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.5:} 圆锥曲线\end{center}
    
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
    我们有轨道能量$\mathcal E$、偏心率$e$和角动量$h$之间的关系：
    \[\mathcal E=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}=\frac{\mu^2(e^2-1)}{2h^2},
    v=\sqrt{\frac{2\mu}{r}+2\mathcal E}\]
    由此，我们看到
    \color{blue}\begin{alignat*}{2}
        &\text{双曲线} &\quad& e > 1\Rightarrow\mathcal E > 0 \\
        &\text{抛物线}  &\quad& e = 1\Rightarrow\mathcal E = 0 \\
        &\text{椭圆}   &\quad& e < 1\Rightarrow\mathcal E < 0 \\
    \end{alignat*}\color{black}
    例如，让我们考虑高度$r = 3.5786\times 10^6\text{m}$。对于圆形轨道，速度应满足：
    \[v<\sqrt{\frac{2\mu}{r}}=4.7198\times10^3\text{m/s}\]
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{开普勒定律}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
    约翰尼斯·开普勒根据第谷·布拉赫的观测数据提出了以下定律： \\
    \begin{center}\includegraphics[scale=0.2]{fig_2_6.jpg}\end{center}
    \begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.6:} 约翰尼斯·开普勒\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{block}{开普勒定律}
\begin{enumerate}
    \item 每个行星的轨道都是一个以太阳为一个焦点的椭圆。
    \begin{center}\includegraphics{fig_2_7_1.pdf} \quad
    \includegraphics{fig_2_7_2.pdf}\end{center}
    \begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.7:} 开普勒定律\end{center}
    \item 从太阳指向行星的矢径在相等时间内扫过相等的面积。
    \item 行星轨道周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比：
    \[ T^2 = \frac{4\pi^2}{\mu} a^3 \]
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{飞行时间}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
我们需要确定$m_2$如何随时间在轨道上运行，即$\theta(t)$。 \\
1. 圆形轨道
\begin{center}\includegraphics{fig_2_p15.pdf}\end{center}
\[ \theta(t) = \theta(t_0) + \sqrt{\frac{\mu}{r^3}} (t - t_0) \]
其中
\begin{itemize}
    \item 地球引力常数\(\mu_E = 3.986 \times 10^5 \, \text{km}^3/\text{s}^2\)
    \item 太阳引力常数\(\mu_S = 1.3271244 \times 10^{11} \, \text{km}^3/\text{s}^2\)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
2. 椭圆轨道
\begin{center}\includegraphics[scale=0.9]{fig_2_p16.pdf}\end{center}
设$t_0$为近拱点通过时刻，即$\theta(t_0) = 0$。 \\
$t \Rightarrow \theta(t):$
\begin{enumerate}
    \item \( M = \sqrt{\frac{\mu}{a^3}}(t - t_0) \)
    \item 求解开普勒方程 \( E - e \sin E = M \) 得到 \( E \)
    \item \( \tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2} \)
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
对于开普勒方程
\[ E - e \sin E = M \]
我们可以使用迭代法求解给定$M$时的$E$：
\begin{center}\includegraphics{fig_2_p17.pdf}\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
3. 抛物线轨道
\begin{center}\includegraphics{fig_2_p18.pdf}\end{center}
\[ \tan^3 \frac{\theta}{2} + 3 \tan \frac{\theta}{2} = 6 \sqrt{\frac{\mu}{p^3}} (t - t_0) \]
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
4. 双曲线轨道
\begin{enumerate}
    \item \( N = \sqrt{\frac{\mu}{-a^3}} (t - t_0) \)
    \item 求解开普勒方程 \[e\sinh H - H = N\] 得到 \( H \)
        使用与求解$E$类似的迭代方法。
    \item \( \tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{e+1}{e-1}} \tanh \frac{H}{2} \)
\end{enumerate}
其中
\begin{align*}
    &\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\
    &\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\
    &\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}
\end{align*}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{轨道要素}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\vspace{-5pt}
\begin{center}\includegraphics[scale=0.8]{fig_2_8.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.8:} 轨道要素\end{center}
\vspace{-10pt}
\begin{block}{地心赤道坐标系 \( F_G \) (\( \vec{X}_G \vec{Y}_G \vec{Z}_G \)) (惯性系)}
\vspace{-15pt}
\begin{align*}
    \textcolor{blue}{\text{原点}}\quad & \text{地球中心} \\
    \textcolor{blue}{\text{方向}}\quad & \vec{X}_G \text{: 指向春分点} \\
    & \vec{Z}_G \text{: 指向北极} \\
    & \vec{Y}_G \text{: 构成右手坐标系}
\end{align*}\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\vspace{-3pt}
\begin{center}\includegraphics[scale=0.6]{fig_2_8.pdf}\end{center}
\vspace{-3pt}
\begin{enumerate}
    \item \( i \) - 轨道倾角：\( \vec{h} \) 与 \( \vec{Z}_G \) 之间的夹角
    \begin{itemize}
        \item 用于确定轨道平面
    \end{itemize}
    \item \( \Omega \) - 升交点赤经：\( \vec{h} \) 与 \( \vec{Z}_G \) 之间的夹角
    \begin{itemize}
        \item 用于确定轨道方向
        \item 交点线 \( \vec{n} \)：赤道面与轨道面的交线
    \end{itemize}
    \item \( \omega \) - 近地点幅角：\( \vec{n} \) 与 \( \vec{e} \) 之间的夹角
    \begin{itemize}
        \item 用于确定偏心率矢量 $\vec e$ 的方向
    \end{itemize}
    \item \( a \) - 半长轴
    \item \( e \) - 偏心率
    \item \( t_0 \) - 过近地点时刻
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
惯性系下的位置 \( \vec{r} \) 和速度 \( \vec{v} \) 与轨道要素之间的相互转换 \\
\vspace{16pt}
参考文献： \\
A. H. J. de Ruiter, C. J. Damaren, J. R. Forbes, \textit{航天器动力学与控制导论}, John Wiley and Sons Ltd, 2013.
\end{frame}
